등비수열 합 공식 '누구나 이해하는 쉬운 설명!'

등비수열 합 공식 '누구나 이해하는 쉬운 설명' 안녕하세요, 수학 친구들! 오늘은 등비수열의 합에 대해 알아볼 거예요. 어려워 보이지만, 실생활에서 자주 만나는 친근한 개념이랍니다. 차근차근 함께 알아볼까요?

목차

• 등비수열이란 무엇일까요?
• 등비수열의 합 공식
• 등비수열의 실제 예시
• 등비수열 문제 해결 팁!

등비수열

등비수열 합 공식 '누구나 이해하는 쉬운 설명'

"등비수열의 합, 이제 쉽게 이해하자!"

"실생활 속 숨은 등비수열 찾기"

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1. 등비수열이란 무엇일까요?

먼저 등비수열이 뭔지 알아볼게요! 등비수열은 각 항끼리의 비가 일정한 수열을 말해요.

예를 들어볼까요?

• 2, 4, 8, 16, 32...
• 3, 9, 27, 81, 243...

보시면 첫 번째 수열은 매번 2를 곱하고, 두 번째 수열은 매번 3을 곱하고 있죠?

이때 곱해지는 일정한 수를 '공비'라고 해요.

• 첫 번째 수열의 공비 = 2
• 두 번째 수열의 공비 = 3

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2. 등비수열의 합 공식

자, 이제 본격적으로 등비수열의 합 공식을 알아볼까요?

첫째항을 a, 공비를 r이라고 할 때:

1) 공비가 1이 아닐 때 (r≠1)

• Sn = a(1-r^n)/(1-r)

여기서 Sn은 첫째 항부터 n번째 항까지의 합이에요!

2) 공비가 1일 때 (r=1)

• Sn = na

이건 더 쉽죠? 그냥 첫째항에 항의 개수를 곱하면 돼요!

어려워 보이지만, 실제로 적용해 보면 생각보다 쉬워요.

예시를 들어볼까요?

첫째항이 2이고 공비가 3인 등비수열의 첫째 항부터 4번째 항까지의 합은?

• S4 = 2(1-3^4)/(1-3)
• S4 = 2(1-81)/(-2)
• S4 = 2×80/2
• S4 = 80

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3. 등비수열의 실제 예시로 증명하기

등비수열

1) 복리 이자 계산으로 증명하기

실제 은행 적금 예시로 살펴볼까요?

초기 예금액: 1,000만 원, 연이율: 5%

 

계산 과정:

• 시작: 1,000만원
• 1년 후: 1,000 × (1 + 0.05) = 1,050만 원
• 2년 후: 1,050 × (1 + 0.05) = 1,102.5만 원
• 3년 후: 1,102.5 × (1 + 0.05) = 1,157.625만 원

증명:

1) 공비(r) = 1.05 확인

• 1,050 ÷ 1,000 = 1.05
• 1,102.5 ÷ 1,050 = 1.05
• 1,157.625 ÷ 1,102.5 = 1.05

2) 일반항 공식 적용

• an = a1 × r^(n-1)
• 1,000 × 1.05^(n-1)

등비수열

2) 세포 분열로 증명하기

실험실 관찰 데이터:

시작 세포 수: 100개

2시간마다 세포 수 기록

 

관찰 결과:

• 0시간: 100개
• 2시간 후: 200개
• 4시간 후: 400개
• 6시간 후: 800개

증명:

1) 공비(r) = 2 확인

• 200 ÷ 100 = 2
• 400 ÷ 200 = 2
• 800 ÷ 400 = 2

2) 수열의 합 검증

• Sn = a(1-r^n)/(1-r)
• S4 = 100(1-2^4)/(1-2)
• S4 = 100(1-16)/(-1)
• S4 = 1,500

등비수열

3) 온라인 콘텐츠 조회수로 증명하기

실제 유튜브 영상 데이터:

첫날 조회수: 1,000회

 

일별 조회수 기록:

• 1일 차: 1,000회
• 2일 차: 3,000회
• 3일 차: 9,000회
• 4일 차: 27,000회

 

증명:

1) 공비(r) = 3 확인

• 3,000 ÷ 1,000 = 3
• 9,000 ÷ 3,000 = 3
• 27,000 ÷ 9,000 = 3

 

2) 총 조회수 계산

• Sn = 1,000(1-3^4)/(1-3)
• S4 = 1,000(1-81)/(-2)
• S4 = 40,000

4) 실제 데이터로 본 특징 정리

1. 증가하는 등비수열의 특징

• 공비 > 1: 기하급수적 증가
• 실제 예: 복리 이자, 바이러스 확산

2. 감소하는 등비수열의 특징

• 0 < 공비 < 1: 점차 감소
• 실제 예: 약물 농도 감소, 방사능 붕괴

3. 주의할 점

• 실제 데이터는 이론값과 약간의 오차 발생
• 외부 요인에 의한 변동 고려 필요
• 장기 예측 시 한계점 존재

이처럼 실제 데이터로 등비수열을 증명하면, 이론이 현실에서 어떻게 적용되는지 더 명확하게 이해할 수 있어요!

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4. 등비수열 문제 해결 팁!

문제를 풀 때는 이렇게 접근해 보세요:

1) 첫째항(a)과 공비(r) 찾기

• 연속된 두 항의 비를 구해보세요
• 그 비가 일정하다면 그게 바로 공비!

2) 공식 선택하기

• r=1인지 r≠1인지 확인하기
• 적절한 공식 선택하기

3) 계산할 때 주의할 점

• 분수 계산 실수 조심하기
• 음수 부호 실수 조심하기
• 지수 계산 정확히 하기

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등비수열

마치며...

이렇게 등비수열의 합에 대해 알아보았는데요, 어떠신가요? 아직 어려우실까요? 아직 아리송하시다면, 두 번, 세 번 반복해서 읽어 보시는 것도 좋아요. 반복해서 읽다 보면 어느샌가 머릿속에서 정리가 되는 느낌이 오실 거예요. 수학이 조금 복잡하고 지루할 수 있지만, 우리 일상에 많은 도움을 주는 학문이랍니다.

저는 다음 시간에 또 다른 재미있는 수학 이야기로 찾아올게요! 안녕!

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